בית הספר הגבוה לטכנולוגיה ירושלים אותות ומערכות הרצאות #2-3 ההערות מבוססות על אתר הקורס הפתוח של MIT 1

Transcript

1 בית הספר הגבוה לטכנולוגיה ירושלים אותות ומערכות הרצאות #2-3 ההערות מבוססות על אתר הקורס הפתוח של MIT 1

2 סקירת המצגת אותות ומערכות בזמן בדיד )DT( פונקצית מדרגה ופונקצית "הלם" )דגימה( a. ייצוג אותות בדידים כ"דגימות" מוזזות ומשוקללות b. קונבולוציה בזמן בדיד c. תגובת הלם d..1.a.b.c.d אותות ומערכות בזמן רציף פונקצית מדרגה ופונקצית הלם ייצוג האותות כ"הלם" מוזז ומשוקלל קונבולוציה בזמן רציף תגובת הלם תכונות הקונבולוציה: חוק החילוף, חוק הפילוג, חוק הקיבוץ, סיבתיות, יציבות, חוסר-זיכרון וכו'.2.3 2

3 [n] פונקצית "הלם" )דגימה( אנו מגדירים את פונקצית הדגימה כך: 1 פונקצית הדגימה DT Unit Sample Function 0.8 [ n] 1, n 0 0, n n [ n] n שים לב ש: 3

4 u[n] פונקצית המדרגה אנו מגדירים את פונקצית המדרגה u[n] כך: פונקצית המדרגה DT Unit Step Function u[ n] 1, n 0 0, n n δ[n] = u[n] u[n-1] u[ n] n k [ k] k0 [ n k] שים לב ש: ו 4

5 ייצוג אות בדיד x[n] כאוסף של דגימות δ[n] 5

6 כלומר... אותות "בסיסיים" מקדמים תכונת ה"ניפוי" של פונקצית הדגימה δ[n] 6

7 מערכת בדידה נזכיר שאם מערכת היא ליניארית מתקיימת בה סופרפוזיציה: אם [n] x 1 [n] y 1 ו [n] x 2 [n] y 2 אזי [n] a 1 x 1 [n] + a 2 x 2 [n] a 1 y 1 [n] + a 2 y 2 כעת נניח שהמערכת שלמעלה היא ליניארית ואנחנו מגדירים את [n] h k כתגובת )פלט( המערכת עבור k].[n - [n - k] h k [n] כלומר: ומהסופרפוזיציה: x[k][n - k] x[k] h k [n] 7

8 מערכת בדידה כעת נניח שהמערכת היא LTI וכמו שהגדרנו: מתכונת ה :TI מתכונת ה :LTI קונבולוציה )סכום( 8

9 ייצוג הקונבולוציה כסכום של תגובות,,h[n] לדגימות δ[n] כלומר: n n n n סכום התגובות לכל k 9

10 חישוב הקונבולוציה: נבחר ערך של n ונתייחס אליו כקבוע: נתייחס לסכום כפונקציה של k )כאשר n קבוע( [0]y יתקבל כסכום המכפלות כאשר 0=n. [1]y יתקבל כסכום המכפלות כאשר 1=n. 10

11 חישוב הערכים: הזזה, הכפלה, סכום -1 1 x 1 = 1 0 x = 2 (-1) x x x (-1) = -2 (-1) x x (-1) + 1 x (-1) = -3 (-1) x (-1) + 0 x (-1) = 1 (-1) x (-1) =

12 u(t) פונקצית מדרגה בזמן רציף אנו מגדירים את פונקצית המדרגה u(t) כך: CT Unit Step Function u( t) 1, t 0, t t שים לב ש אינה רציפה בנקודה 0=t. u(t) 12

13 (t) δ(t) פונקצית הלם בזמן רציף פונקצית המדרגה u(t) היא האינטגרל של פונקצית ההלם לכן, פונקצית ההלם היא הנגזרת של פונקצית המדרגה t ( t) dt u( t) u( t) ( t) t 0 1 ( ) d ( t ) d du( t) dt CT Unit הלם Impulse פונקצית Function t שים לב ש u(t) אינה רציפה ב 0=t וממילא אינה גזירה שם. (1) 13

14 ייצוג של אותות רציפים δ(t) נעריך כל פלט x(t) כסכום ובקנה מידה שונה( )אינטגרלי( של )כאשר הוא מוזז 14

15 הערכה עבור פונקצית הלם בזמן רציף ( t) 1,0 t 0, otherwise השטח של (t) δ Δ הינו 1 האמפליטודה של δ Δ (t-k Δ)Δ הינה 1 שים לב שכאשר Δ 0 אזי δ(t) δ Δ (t) תכונת ה"ניפוי" של פונקצית ההלם 15

16 ףיצר ןמזב LTI תכרעמ תבוגת טלקה רובעש חיננ x(t) = δ Δ (t) טלפ לבקנ רידגהל לכונ יזא h Δ (t) :ךכ שדח תוא :לרגטניאל ךפוה םוכסה Δ 0 רשאכ,לובגב היצקנופה אוה טלקה םא רמולכ,םלהה תבוגת הניה h(t) םלהה תיצקנופ היהי טלפה יזא δ(t).h(t) ) ( ) ( ) ˆ( ) ( ) ( ) ( ˆ k t h k x t y k t k x t x k k d t h x t y d t x t x ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( היצולובנוק )לרגטניא( 16

17 אופן חישוב הקונבולוציה בזמן רציף הזז הפוך סכום הכפל x(t) = 1, לכל 1 t 3 אחרת 0, = דוגמה: h(t) = t+2, לכל -2 t -1 אחרת 0, = x(τ) = 1, לכל 1 τ 3 אחרת 0, = h(t-τ) = t-τ+2, לכל -2 t-τ -1 h(t-τ) = - τ+t+2, לכל t+1 τ t+2 17

18 המשך הדוגמה, עבור 1- t: משך הזמן y(t) Overlap x(τ) h(t-τ) Interval משך x(τ) h(t-τ) החפיפה Time y(t) Interval t None 0 0 t Convolution t עבור -1 Example, דוגמה t-1 h(t-) x() t=-2 t+1 t

19 המשך הדוגמה עבור 0 t -1 משך הזמן y(t) Overlapמשך x(τ) h(t-τ) Interval החפיפה x(τ) h(t-τ) Time Interval y(t) t2-1 t 0 -τ+t+2 1 τ t+2 1 τ t+2 -τ+t+2-1 t 0 ( t 2) d 1 Convolution -1 t 0Example, עבור 1t0 -דוגמה ( t 1) h(t-) x() t=-0.3 t+1 t t x()h(t-) t

20 Convolution 0 t עבור 1 Example: המשך 0 הדוגמה t 1 משך הזמן y(t) Overlapמשך x(τ) h(t-τ) Interval החפיפה x(τ) h(t-τ) Time Interval y(t) t2 0 t 1 -τ+t+2 t+1 τ t+2 t+1 τ t+2 -τ+t+2 0 t 1 ( t 2) d 1 2 t 1 Convolution 0 t 1Example, עבור 0t1 דוגמה h(t-) x() t=0.3 t+1 t x()h(t-) t+1 t

21 המשך הדוגמה עבור 2 t t1 משך הזמן x(τ) h(t-τ) משך החפיפה y(t) ( t ( t 1) 2 2) d 2 t+1 τ 3 -τ+t+2 1 t Convolution 1 t עבור 2 Example, דוגמה 1t2 h(t-) x() t=1.3 t+1 t x()h(t-) 0.5 t t

22 המשך הדוגמה עבור t 2 משך הזמן x(τ) h(t-τ) משך החפיפה y(t) t 2 0 אין h(t-) x() Convolution 2 t עבור Example, דוגמה t t=3 t+1 t+2 22

23 y(t) המשך 0.5 Convolution הגרף Output t 23

24 1( חוק החילוף תכונות ודוגמאות למערכות LTI רציפות תכונת ה"ניפוי": )2 3( אינטגרטור: אם הכניסה היא δ(t) x(t) = אזי h(t) y(t) = impulse של המערכת response תגובת ההלם of system h(t) is = h(t) u(t) היא= u(t) כלומר: x(t) = u(t) 4( תגובת מדרגה: 24

25 תכונות ודוגמאות למערכות LTI בדידות x[n]*h[n] = h[n]*x[n] 1( חוק החילוף x[n]* δ[n] = x[n] תכונת ה"ניפוי" x[n]* δ[n-n] = x[n-n] )2 h[ n] y[ n] n k n k x[ k] [ k] u[ n] 3( אוגר עבור δ[n] x[n] = נקבל h[n] y[n] = impulse המערכת היא response ofתגובת system h[n] is h[n] = u[n] = u[n] y [ n] x[ n]* h[ n] x[ n]* u[ n] x[ k] n k כלומר: תגובת מדרגה עבור x[n]=u[n] s [ n] u[ n]* h[ n] h[ n]* u[ n] h[ k] n k (4 25

26 26 חוק הפילוג

27 חוק הקיבוץ חוק החילוף 27

28 מערכות סיבתיות ויציבות )LTI( סיבתיות: מערכת רציפה הינה סיבתית אם לכל 0>t אזי = 0 h(t) סיבתיות: מערכת בדידה הינה סיבתית אם לכל 0>n אזי = 0 h[n] Causality: DT LTI system is causal h[n] = 0, n<0 יציבות: מערכת רציפה היא יציבה אם k h [ k] יציבות: מערכת בדידה היא יציבה אם 28

29 The Operational Definition of the Unit Impulse (t) ההגדרה המעשית של פונקצית ההלם: δ(t) idealization כ"כ קצרה כך of הינהa unit-area,δ(t) ההלם, פונקציתpulse that is so "אידיאלי" short that, באופן for any שלה. physical ולא למשך systems הפונקציה of interest לשטח של to רק us, מגיבה the system המערכת responds שמבחינתנו only to the area of the pulse and is insensitive to its duration באופן מעשי, פונקצית ההלם,,δ(t) היא כזו שכאשר הכניסה של Operationally: The unit impulse is the signal which when applied.h(t) המערכת, to any LTI של ההלם תגובתsystem results הוא המוצאin an output אזי δ(t) equal היא המערכתto the impulse response of the system. That is, כלומר: δ(t) is defined by what it does under convolution. 29

30 פונקצית הנגזרת של :δ(t) הגדרה: באופן מעשי, מוצא המערכת יהיה הנגזרת של הכניסה: 30

31 וכן, הלאה, n פעמים: n הוא מספר הנגזרות ובאופן מעשי: 31

32 Integrators פונקצית האינטגרל של :δ(t) תגובת המערכת ל :δ(t) נגזרות, כלומר אינטגרל =< פונקצית מדרגה -1 באופן מעשי: שרשור של n פונקציות: 32

33 המשך: קיבלנו "רמפה" )שן מסור( ובאופן כללי: 33

34 סימון: נגדיר: אזי: (n ו m יכולים להיות + או -( כלומר: 34

35 לעיתים נוכל להיעזר ב : גזור, בצע קונבולוציה ואח"כ בצע אינטגרל 35

36 דוגמה:

37 37 המשך: